1 Temmuz 1987 Tarihli Commodore Gazetesi Sayfa 38

ti. Hangi işlem yöntemleri kurallara uygun, hangileri aykırıdır? Matema- tiksel akıl yürütme her zaman “*do- ğal dil'”'de (yani Fransızca, Latince ya da normal iletişimde kullanılan her- hangi bir dilde) yapılagelmiş oldu- ğundan, hep bir muğlaklık riski taşı- mıştı. Kelimeler farklı insanlar için farklı anlamlar taşıyor, farklı imge- ler çağrıştırıyordu. Her türlü mate- matiksel çalışmanın yapılabileceği ve herhangi iki matematikçinin önerilen bir kanıtın geçerli olup olmadığı ko- nusundaki anlaşmazlığı çözüme bağ- lamakta yararlanabilecekleri, düzen- li, tek bir notasyon oluşturmak akla uygun ve hatta önemli görünmektey- di. Bunun içinse, evrensel olarak ka- bul edilebilir nitelikteki akıl yürütme tarzlarının, en azından matematikte geçerli oldukları ölçüde, baştan sona sisteme bağlanması gerekiyordu. TUTARLILIK VE EKSİKSİZLİK İşte, Principia Mathematica'nın hedefi de buydu. Matematiğin tama- mını, hem de çelişkisiz olarak, man- tıktan türetme iddiasındaki Principia Mathematica herkesin hayranlığını kazanmıştı kazanmasına, ama kim- se ne (1) Russel'la Whitehead'in be- lirlediği yöntemlerin gerçekten de ma- tematiğin tamamını kapsadığından, ne de hatta (2) bu yöntemlerin kendi içlerinde tutarlı olduğundan emin olamıyordu. Russel ve Whitehead'in yöntemleriyle, hiçbir matematikçinin asla çelişkili sonuçlara varamayaca- Bi her türlü kuşkunun ötesinde ke- sin miydi? Bu soruyu özellikle rahatsız edici bulan seçkin Alman matematikçisi (ve üst-matematikçisi) David Hilbert, dünya matematik (ve üst-matematik) çevrelerini, Principia Mathematica'- da tanımlanan sistemin hem tutarlı (çelişkisiz), hem de eksiksiz olduğu- nu (yani, sayı teorisindeki her bir doğru ifadenin P.M.'de çizilmiş olan çerçeveden türetilebileceğini) kesin olarak -hatta belki de Russel'la Whi- tehead'in belirlediği yöntemleri kulla- narak- kanıtlamaya çağırdı. Öyle ko- lay üstesinden gelinecek bir iş değil- di bu; üstelik, bir anlamda döngüsel de sayılabilirdi: akıl yürütme yöntem- lerimizi, tam da bu yöntemlere daya- narak nasıl doğrulayabiliriz? İnsanın kendi sırtına tırmanması gibi bir şey bu. Elbette Hilbert de bu ikilemin ta- mamen farkındaydı. Bu yüzden, tu- tarlılığın ya da eksiksizliğin yalnızca 'sonlu' akıl yürütme usüllerine (yani, matematikçilerin çoğunun benimse- diği küçük bir akıl yürütme yöntem- leri dizisine) dayanarak kanıtlanabi- leceğini umduğunu belirtmişti. Bu şe- kilde, matematikçilerin kısmen de ol- sa kendi sırtlarına tırmanabilecekle- rini, yalnızca yöntemlerin küçük bir bölümüne başvurarak matematiksel yöntemlerin tamamının sağlıklı oldu- ğunun ispatlanabileceğini umut edi- yordu. Bu bize pek dar kapsamlı bir hedef gibi görünebilir; ama, yüzyılı- mızıin ilk otuz yılı boyunca, dünya- nın en büyük üst-matematikçilerin birçoğu bu konuyla uğraşıp durdular. Otuzbirinci yıldaysa Gödel'in ma- kalesi yayınlandı ve Hilbert'in prog- ramı bir anlamda tamamen yerle bir. oldu. Bu makale yalnızca Russel'la Whitehead'in önerdiği aksiyomatik sistemde onarılması imkansız *delik- ler” bulunduğunu açığa çıkarmakla kalmıyor, daha genel olarak, sayı te- orisiyle ilgili bütün gerçeklerin de an- cak ve ancak tutarsız bir aksiyoma- tik sistemden türetilebileceğini orta- ya koyuyordu. Dahası, makale P.M.'de anlatılan türden bir sistemin tutarlılığını kanıtlamaya çalışmanın boşuna olduğunu da göstermekteydi: eğer böyle bir kanıt yalnızca P.M.'in içerdiği yöntemler aracılığıyla bulu- nabilecekse, o zaman -ki bu Gödel'- in çalışmasının en garip sonuçların- dan biridir- P.M.'in kendisinin tutar- sız olduğu anlaşılacaktı! Bütün bunlar yetmezmiş gibi, Gö- del Eksiklik Teoremini ispatlarken de recursion'dan kaynaklanan para- doksların her türlü saldırısına karşı kale kadar sağlam olduğu sanılan bir yere, Principia Mathematica'nın tam ortasına, Giritli yalancı filozof para- doksunu getirip bırakmıştı! Kısaca? sı, Gödel'in eseri Principia Mathema- tica'yı yıkmadıysa da, Russel ve Whi-